Mat 002 – Funzioni Speciali – Introduzione

Iniziamo questo corso partendo dalla descrizione di quelle entità matematiche che vengono comunemente raccolte sotto l’appellativo di “funzioni speciali, termine con il quale si fa usualmente riferimento a tutta una vasta gamma di funzioni che occupano un posto centrale nella matematica moderna e nelle sue applicazioni nei riguardi di svariate discipline, tra cui fisica, ingegneria, statistica e teoria dei numeri: funzioni che, sebbene definite da espressioni o equazioni particolari, emergono naturalmente come soluzioni di problemi fondamentali in contesti di diversa natura. Ad esempio, la funzione Gamma, una generalizzazione del fattoriale, trova impiego nella teoria delle probabilità e nella fisica, mentre la funzione Zeta di Riemann è essenziale nella teoria dei numeri e nella comprensione della distribuzione dei numeri primi.

Tali funzioni speciali sono spesso soluzioni di equazioni differenziali che descrivono fenomeni fisici o geometrici. Le funzioni di Bessel, le funzioni di Legendre e le funzioni di Airy, ad esempio, emergono come soluzioni naturali in problemi con simmetrie radiali o sferiche in fisica matematica, e sono essenziali per risolvere equazioni differenziali che modellano la propagazione delle onde, i campi elettromagnetici, la meccanica quantistica ed altri fenomeni fisici complessi. Altre funzioni speciali, come le funzioni ellittiche e le funzioni theta di Jacobi, svolgono un ruolo cruciale nella geometria algebrica e nella teoria delle curve ellittiche, con applicazioni in settori che spaziano dalla crittografia alla teoria delle stringhe. Infine, funzioni cosiddette ipergeometriche e loro generalizzazioni appaiono in svariati contesti, dalle soluzioni delle equazioni differenziali alla teoria delle probabilità.

Uno degli aspetti più affascinanti di queste “funzioni speciali” è la loro interconnessione: molte di esse sono infatti collegate da identità funzionali, trasformazioni o proprietà di simmetria che riflettono profondi principi matematici. Ad esempio, la funzione Zeta di Riemann ha strette connessioni con la funzione Gamma attraverso relazioni di riflessione, così come con le funzioni ipergeometriche si riescono a caratterizzare diverse altre funzioni ben note. Ad ogni modo, l’importanza delle funzioni speciali risiede fondamentalmente nella loro universalità: non sono, cioè, solo strumenti utili per risolvere problemi matematici e fisici ma offrono anche una profonda comprensione teorica delle strutture sottostanti. Come vedremo, studiare queste funzioni significa esplorare le fondamenta stesse della matematica e della fisica, con applicazioni che si estendono ben oltre i confini di una singola disciplina. Per gli scopi relativi alla stesura di questo corso esamineremo adesso alcune delle funzioni speciali più rilevanti esplorandone le proprietà fondamentali e le principali applicazioni, evidenziando come queste funzioni emergano in equazioni differenziali ed integrali e come siano fondamentali nel collegare diverse discipline della matematica e delle scienze naturali, in particolar modo nella fisica quantistica. Ed iniziamo questa trattazione dando come prima cosa alcuni cenni relativi alla cosiddetta Distribuzione Normale e all’Integrale di Gauss.